Marxa a l'edat de 83 anys un dels dirigents més importants de la història grana. Antic jugador de tennis taula, Vallverdú va dirigir el club des del 1986 al 1998, i la secció de futbol, del 1990 al 1998, època prèvia a la conversió en societat anònima esportiva. Posteriorment també va ser membre del Consell d'Administració i fins i tot president durant tres mesos, l'any 2012, de manera interina i a cavall de les etapes de José Maria Fernández i l'actual de Josep Maria Andreu. L'any 2017, el fill d'Antoni Vallverdú va ocupar la seva vacant a la SAD.

Fins fa pocs anys i fins que la seva salut ho va permetre, Vallverdú va ser un asidu dels desplaçaments de l'equip en Lliga. Durant la seva etapa es van promoure les construccions del pavelló i el museu del Nàstic.